Принципы математики


Принципы математики
        «ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИКИ» («PRINCIPIA MATHEMATICA») — трехтомный труд о логике и основаниях математики, написанный А.Н. Уайтхедом и Б. Расселом и опубликованный в 1910, 1912 и 1913 (около 2000 с). Целью этой работы было показать, что, используя минимальные и очевидные логические средства (аксиомы и правила вывода), можно дедуцировать все математические истины (см. Логицизм). Совершенно справедливо подчеркивается, что после аристотелевского Organon данная работа остается наиболее влиятельной из когда-либо написанных книг по логике (A.D. Irvine).
        Главным источником и мотивацией для «П. м.» были работы Г. Фреге по логике и математике. Вслед за Фреге авторы «П. м.» предприняли попытку дать чисто логическое определение математических сущностей, подобных числам, и затем дедуцировать их фундаментальные свойства. При этом основная задача заключалась в том, чтобы избежать парадокса, обнаруженного в 1902 Расселом в работе Фреге «Основания арифметики». Для этого была разработана теория типов: множество относится к более высокому типу, чем его элементы, и мы не можем говорить о такой конструкции как «множество всех множеств», которая приводит к парадоксу Рассела (см. Множеств теория). Используя теорию типов, оказалось возможным избежать всех известных теоретико-множественных парадоксов.
        Хотя «П. м.» содержит приемлемые доказательства многих важнейших теорем в теории множеств, в конечной и трансфинитной арифметике, две содержащиеся в труде аксиомы носят не логический характер. Первая из них называется аксиомой бесконечности; она устанавливает, что существует бесконечное число объектов. Это допущение, скорее всего, является эмпирическим по своей природе. Вторая аксиома называется аксиомой сводимости и введена для обхода некоторых трудностей, возникших в теории типов. Многие авторы отмечают, что эта аксиома является просто ad hoc. Поэтому вопрос о том, сводима ли в «П. м.» математика к логике или только к теории множеств, остается открытым.
        Тем не менее влияние книги на последующее развитие логики было колоссальным и в первую очередь привело к металогическим исследованиям рассмотренных в ней формальных систем. В 1920 Э. Пост впервые опубликовал доказательство о дедуктивной полноте логики высказываний, а также о ее функциональной полноте. В 1930 К. Гёдель впервые опубликовал доказательство о дедуктивной полноте логики предикатов (см. Полнота логических исчислений). Последнее говорит о дедуктивной мощи новой логики (отличной от аристотелевской), что позволило положить ее в фундамент всей математики. К тому же еще ранее было показано, что логика предикатов как формальная система непротиворечива (см. Непротиворечивость).
        Уже в первом томе «П. м.» дается логическое определение натуральных чисел 1 и 2 и встает вопрос о непротиворечивости и полноте такой, казалось бы, совсем простой и естественной формальной системы, как арифметика натуральных чисел. В дальнейшем основные усилия были направлены на то, чтобы доказать, что формальные системы, вовлеченные в «П. м.», не содержат противоречий. В эту работу включился Д. Гильберт, и в этом еще одна заслуга труда Уайтхеда и Рассела. В 1931 наступил критический момент, когда Гёдель показал, что доказать непротиворечивость формальной арифметики собственными средствами невозможно, а предположение о ее непротиворечивости ведет к тому, что система арифметики, включающая операции сложения и умножения, не является достаточно богатой, чтобы доказать все перво-порядковые истины о натуральных числах (см. «О формально неразрешимых предложениях»). В научном мире это было воспринято, в основном, как несостоятельность проекта логицизма, осуществленного в «П. м.», и как крах программы Гильберта (см. Формализм).
        В заключение отметим, что теоремы Гёделя о неполноте вызвали оживленную дискуссию, продолжающуюся по сей день и вовлекшую в свою сферу самые различные области человеческого знания: философию, эпистемологию, психологию, методологию систем искусственного интеллекта и т.д. В свою очередь, проект логицизма, который пытались реализовать Уайтхед и Рассел в «П. м.», периодически возрождается, находя все новые пути для логического обоснования математических понятий.
        А.С. Карпенко
        Лит.: Whitehead A.N. and Russell В. Principia Mathematica. 3 vols. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1910,1912,1913; 2nd e d., 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3); Abridged as Principia Mathematica to *56. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1962 (2nd ed., 1997).

Энциклопедия эпистемологии и философии науки. М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация». . 2009.

Смотреть что такое "Принципы математики" в других словарях:

  • ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ — раздел философии науки, исследующий философские основания и проблемы математики: онтологические, гносеологические, методологические, логические и аксиологические предпосылки и принципы математики в целом, ее различных направлений, дисциплин и… …   Философия науки: Словарь основных терминов

  • История математики — История науки …   Википедия

  • СОХРАНЕНИЯ ПРИНЦИПЫ — утверждения, выражающие идею сохранения вещей, свойств или отношений природы и выступающие в качестве принципов науч. теорий. К числу С. п. относятся, напр. известные в физике законы сохранения – энергии, массы, импульса, момента импульса,… …   Философская энциклопедия

  • ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ — отрасль философии, исследующая природу математических объектов и эпистемологические проблемы математического познания. Филос. проблемы математики можно разделить на две основные группы: онтологические и эпистемологические. Абстрактный характер… …   Философская энциклопедия

  • философия математики —         ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ отрасль философии науки, исследующая природу математических объектов и способы математических доказательств. Абстрактный характер объектов и особая убедительность доказательств математики еще в античную эпоху… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

  • РАССЕЛ — (Russell) Бертран (1872 1970) англ. философ, ученый и общественный деятель. Лауреат Нобелевской премии по литературе (1950). Р. учился и в дальнейшем преподавал в Кембриджском ун те. Он неоднократно приглашался для преподавания в ун ты др. стран …   Философская энциклопедия

  • КУТЮРА — (Couturat) Луи (род. 1868, Париж – ум. 1914, там же) – франц. философ. Известен своими трудами в области теории познания и логики (в духе Гуссерля); является одним из основателей современной математической логики; исследовал начала математической …   Философская энциклопедия

  • РАССЕЛ — (Russell) Бертран (1872 1970), лорд, внук премьер министра Великобритании Джона Рассела британский философ, логик, математик, социолог, общественный деятель. Крестный сын Милля. Окончил с отличием Кембриджский колледж Святой Троицы. Лауреат… …   История Философии: Энциклопедия

  • РАССЕЛ Бертран (1872-1970) — британский философ, логик, математик, социолог, общественный деятель. Крестный сын Милля. Окончил с отличием Кембриджский колледж Святой Троицы. Лауреат ордена За заслуги Соединенного королевства (1949). Нобелевская премия по литературе (1950).… …   История Философии: Энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — теоретическая логика, символическая логика, раздел математики, посвященный изучению математич. доказательств и вопросов оснований математики. Исторический очерк. Идея построения универсального языка для всей математики и формализации на базе… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Принципы математики» >>